Des invariants pour une équation elliptique-parabolique des milieux poreux : étude théorique et applications numériques
Institution:
Paris 13Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we study some invariants for selfsimilar solutions of an elliptic-parabolic equation, which is used for the modelling of water flows in saturated-unsaturated porous medium. We look into intermediate asymptotics, in space and in time, for Richards’ equation in 1D in a semi-infinite domain. At the initial time, a finite part is saturated and an infinite one is unsaturated. Indeed, selfsimilar solutions are solutions of problems with specific initial and boundary conditions. According to Barenblatt and Zel’dovich, these selfsimilar solutions are also good approximations of more general problems, with different boundary or initial conditions. Then selfsimilar solutions are called respectively intermediate asymptotics in space and in time for the general problem. We can do these approximations if the general problem and the selfsimilar problem check the same invariant. We underline it is only a necessary condition. This manuscript is divided into six chapters. The first one recalls the physics of the problem. The second and the third chapters deal with the theoretical and numerical aspects of a special case: the heat equation. The last three chapters concern Richards’ equation; we study intermediate asymptotics in space and in time after a bibliography about existence and unicity for this equation.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous étudions des invariants liés aux solutions auto-semblables d’une équation elliptique-parabolique utilisée pour la modélisation des écoulements hydriques en milieu poreux saturé et insaturé. Nous examinons les asymptotiques intermédiaires, en espace et en temps, pour l’équation de Richards, posée en 1D, en domaine semi-infini, où, au temps initial, une partie finie du milieu est saturée et une partie infinie insaturée. En effet, les solutions auto-semblables sont solutions de problèmes avec des conditions initiale et à la limite particulières. Sur une idée de Barenblatt et Zel’dovich, ces solutions auto-semblables peuvent aussi être de bonnes approximations des solutions de problèmes plus généraux, avec des conditions à la limite ou initiale différentes. On dit alors que les solutions auto-semblables sont respectivement des asymptotiques intermédiaires en espace et en temps du problème général. Une condition nécessaire pour que l’on puisse faire ces approximations est que le problème général et le problème auto-semblable vérifient un même invariant, indépendant de la condition qui diffère entre les deux problèmes. Le manuscrit est divisé en six chapitres. Le premier rappelle la physique mise en jeu. Les deuxième et troisième chapitres traitent des aspects théoriques et numériques du cas particulier de l’équation de la chaleur. Les trois derniers chapitres sont consacrés à l’équation de Richards : à une étude bibliographique de l’existence et de l’unicité des solutions, auto-semblables ou non, du problème, à l’analyse théorique et numérique des asymptotiques intermédiaires en espace puis en temps pour ce même problème.