Abstract FR:

Ce travail porte, pour l'essentiel, sur l'analyse théorique et numérique de la dynamique de densités de dislocations. Les dislocations sont des défauts qui se déplacent dans les cristaux, lorsque ceux-ci sont soumis à des contraintes extérieures. D'une façon générale, la dynamique de densités de dislocations est décrite par un système d'équations de transports où les champs de vitesse dépendent de manière non-locale des densités de dislocations. Dans une première partie, nous nous plaçons dans un cadre unidimensionnel. Nous démontrons pour un système 2 x 2 simplifié, des résultats d'existence globale et d'unicité de solution ainsi qu'une estimation d'erreur entre la solution continue et son approximation numérique en utilisant un schéma aux différences finies. Puis, en mettant en œuvre une méthode d'estimation de l'entropie du gradient, développée à la base pour résoudre un modèle bidimensionnel, nous démontrons un résultat d'existence globale et quelques résultats d'unicité pour des systèmes hyperboliques diagonisables en dimension 1. Dans une seconde partie nous nous intéressons à un cadre plus général de la dynamique de densités de dislocations où nous étudions un modèle bidimensionnel. Ce modèle a été introduit par Groma et Balogh (69). Nous démontrons dans ce cadre un résultat d'existence globale via une estimation sur l'entropie du gradient des solutions. Des simulations numériques de ce modèle sont présentées