Abstract FR:

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à la discrétisation par différentes méthodes de Volumes Finis de problèmes elliptiques où apparaissent diverses singularités. La première partie évoque le cas des singularités bidimensionnelles intervenant lorsque nous considérons une équation elliptique sur un domaine non convexe. Nous décrivons donc pour le problème modèle de Laplace les singularités intervenant en nous aidant pour ceci des résultats de [Gri]. Pour les méthodes de Volumes Finis Centrée Cellule [Rer], d'Eléments-Volumes Finis conforme [Bank] et d'Eléments-Volumes Finis non-conforme [Chat] que nous redécrivons, nous montrons que l'utilisation d'un maillage uniforme implique une perte de l'ordre de convergence optimal et qu'un raffinement de maillage local permet la restitution de celui-ci. Des tests numériques viennent confirmer les estimées théoriques obtenues. Nous traitons ensuite le cas des systèmes de Stokes et de Navier-Stokes incompressibles et stationnaires toujours en dimension deux. Nous décrivons là encore les singularités intervenant dans de tels problèmes en nous aidant des résultats de [Dau] et [Lozi]. Pour la méthode de discrétisation adoptée (c'est-à-dire une méthode d'Eléments-Volumes Finis basée sur le couple d'éléments lp1 non-conforme / Ip0 [Tob]), nous montrons que les maillages uniformes ne permettent pas d'obtenir l'ordre de convergence optimal mais que des maillages judicieusement raffinés localement le permettent.