Equation de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov : analyse mathématique, validation de l'approximation et méthode de contrôle
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We consider the Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) equation in Sobolev spaces of functions periodic on x and with mean value zero. The derivation of KZK from the isentropic Navier Stokes equations and approximation their solutions (for viscous and non viscous cases), the results of the existence, uniqueness, stability and blow-up of solution of KZK equation are obtained, also a result of existence of a smooth solution of Navier-Stokes system in the half space with periodic in time mean value zero boundary conditions. We prove the local controllability of moments for two systems described by a nonlinear evolution equation in Banach space and by a nonlinear heat equation. We obtain sufficient conditions on the size of the neighborhood from which we can take the function from the overdetermination condition so that the inverse problem is uniquely solvable. We also prove the controllability result for linearized KZK equation.
Abstract FR:
On considère l’équation de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) dans les espaces de Sobolev des fonctions périodiques sur x de valeur moyenne nulle. La dérivation de l’équation KZK à partir des équations de Navier-Stokes isentropiques et de l’approximation de leurs solutions (pour les cas visqueux et non visqueux), les résultats de l’existence, de l’unicité, de la stabilité, du blow-up, de contrôlabilité sont obtenus ainsi qu’un résultat sur l’existence d’une solution régulière du système de Navier-Stokes dans le demi-espace avec conditions aux limites périodiques en temps et de valeur moyenne nulle. On prouve la contrôlabilité locale des moments de deux systèmes décrits par une équation non linéaire d’évolution dans un espace de Banach et par une équation non linéaire de la chaleur. On obtient des conditions suffisantes sur la taille du voisinage duquel on peut prendre la fonction de la condition de surdétermination de sorte que le problème inverse ait une solution unique.