Abstract FR:

Dans ce travail, nous nous interessons a l'etude des problemes de minimisation et de maximisation de la premiere valeur propre #1 de l'operateur differentiel auto-adjoint ly = #2#i#=#0(-1)#iq#i(x)y#(#i#)#(#i#), defini sur l#2(o, l), lorsque les coefficients q#i (i = 0, 1, 2) sont soumis a des conditions de type: q#i#l##i#(#o#,#l#) = c#i. #i et c#i (i = 0, 1, 2) sont des constantes positives donnees et #i 1 (i = 0, 1, 2). Nous caracterisons les solutions optimales q#i, ainsi que les functions propres associees a #1 optimale. Nous montrons en outre que ce type de problemes est reduit, en general, a la recherche de la premiere valeur propre d'une equation differentielle non-lineaire en y. Nous etudions ensuite le probleme de lagrange qui consiste a trouver la forme de la colonne la plus puissante ayant une longueur et un volume unites et une section droite circulaire. La difficulte majeure dans ce probleme est la possibilite de rencontrer une valeur propre multiple a l'optimum. Cette multiplicite est source de nombreuses difficultes a savoir la perte de la frechet differentiabilite. Dans la derniere partie de la notre travail, nous etudions les problemes de minimisation et de maximisation de la fonctionnelle (v) = #2(v) - #1(v) ou #1(v) resp. #2(v) designe la premiere resp. Deuxieme valeur propre de l'equation de schrodinger: -y + v(x)y + y = 0, y#|## = 0. On suppose que est un ouvert borne de r#n et que le potentiel v satisfait aux conditions suivantes: o v (#x) h x et v#l# = 1. H, m et sont des reels positifs donnes. Nous montrons que tout potentiel v optimal est infiniment differentiable dans tout ouvert o tel que 0 < v (#x) < h pour tout x o. Nous montrons aussi que la deuxieme valeur propre de l'equation de schrodinger associee a un potentiel minimisant est toujours simple