Abstract FR:

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes - pratiques ou théoriques - d'analyse variationnelle mettant en jeu les valeurs propres. La première partie est consacrée à la résolution pratique de problèmes d'optimisation numérique dans l'espace des matrices symétriques où des contraintes sont imposées sur les valeurs propres, nous introduisons des méthodes duales pour calculer la projection d'une matrice sur l'intersection du cône des matrices semidéfinies positives avec un espace affine. Nous étudions aussi plusieurs applications de ces méthodes en optimisation combinatoire (calcul de majorants pour les grands problèmes quadratiques booléens), en optimisation semidéfinie (algorithme proximal pour les problèmes sdp linéaires) et en finance (résolution robuste de problèmes de sélection de portfeuilles). Dans une seconde partie, plus théorique, nous étudions les fonctions non-différentiables qui ont une structure similaire à celle de la fonction plus grande valeur propre d'une matrice symétrique. Pour ces fonctions, nous établissons en particulier des liens entre les méthodes de newton de l'analyse convexe moderne, les méthodes de newton géométriques et les méthodes de newton de l'optimisation avec contraintes.