Comportement asymptotique des solutions de quelques équations aux dérivées partielles decrivant l'écoulement de fluides dans les domaines non-bornes
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Abstract EN:
We consider two different problems here. In the first part we study the asymptotic behaviour at, infinity of solutions to equations describing steady flow of certain classes of non-Newtonian fluid, the other part concerns threedi-rnensional flow of viscous and ideal fluid in the whole space. We first introduce several models of fluids and the systems of equations describing, the stationary flow of the non-Newtonian fluids are reformulated in order to point up their mixed hyperbolic elliptic character. The next part is devoted to a detailed study of certain linear problems; we first, consider the (classical) Oseen problem, where the greatest interest is devoted to the weighted estimates of both singular and weakly singular integral operators with kernels corresponding to the fundamental solution to the Oseen problem and its derivatives. Next we study the so-called modified Oseen problem, i. E. A small linear perturbation of the classical Oseen problem. Further we summarize and slightly extend the results on the steady transport equation. Afterwards, these results are used in the construction of solutions and the study of the asymptotic properties of solutions to the systems of equations describing the stationary flow of certain classes of viscoeiastic fluids past an obstacle. We show that for sufficiently slow flows the a. Symptotic properties of the solution correspond to those of the fundamental solution to the Oseen problem. In the other part of the thesis we consider non stationary flow of both linearly viscous and ideal fluid in the whole space. We show that under the additional a. Ssumption of the axial symmetry of the data, the solution is smooth if the data are smooth and therefore unique in the class of all weak solutions.
Abstract FR:
Ce travail traite deux problèmes différents. La première partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique à l'infini des solutions des équations décrivant l'écoulement stationnaire des certaines classes de fluides non-newtoniens, l'autre partie étudie l'écoulement non-stationnaire tridimensionel de fluide newtonien et parfait dans l'espace entier. D'abord, nous présentons les modèles différents de fluides et les systèmes particuliers sont transformés de telle manière que la structure mixte hyperbolique elliptique ressort. Puis, nous étudions en détail les problèmes linéaires; nous commençons avec le problème de Oseen (classique), où nous nous intéressent particulièrement aux estimations avec poids des opérateurs intégrais singuliers et faiblement singuliers avec les noyaux qui correspondent à la solution fondamentale de Oseen et à ses dérivées. Dans l'autre partie, nous considérons un problème linéaire auxiliaire, appelé le problème de Oseen modifié. Puis, il suit une récapitulation et un largissement des résultats à l'équation de transport stationnaire. Ensuite, nous utilisons tous ces résultats pour construire la solution du problème non-linéaire et pour démontrer sa structure asymptotique à l'infini. Nous considérons l'écoulement stationnaire d'une classe de fluides visco-élas-tiques dans les domaines extérieurs et démontrons que la structure asymptotique est semblable à la structure asymptotique de la solution fondamentale de Oseen. La deuxième partie du travail est consacrée a l'étude de l'écoulement non-stationnaire de fluide visqueux et parfait dans l'espace entier. Il est démontré que, sous l'hypothèse supplémentaire de la symétrie axiale des données, la solution est régulière si les données sont régulières et alors aussi unique dans la classe des solutions faibles.