Abstract FR:

Cette these est consacree aux methodes d'ondelettes en simulation numerique. Ces methodes emergent au debut de la decennie sous l'influx theorique apporte par la theorie des bases d'ondelettes. Elles permettent d'aborder les problemes de preconditionnement d'operateurs elliptiques, de compression et de raffinement adaptatif sous des angles nouveaux et prometteurs par rapport aux methodes multiechelles anterieures. Une des difficultes majeure a leur utilisation reside dans la definition de bases d'ondelettes sur des domaines generaux et adaptees aux contraintes de l'analyse numerique. On etudie la construction de telles bases dans le cadre de la decomposition de domaine qui beneficie d'une construction sur des domaines tensoriels conservant toutes les proprietes essentielles des ondelettes sur la droite reelle. Deux champs d'applications sont ensuite abordes : les problemes elliptiques et le probleme de stokes comme exemple modele de point-selle. Pour ces premiers on propose quelques techniques permettant d'optimiser le preconditionnement en base d'ondelettes (en particulier l'utilisation de preconditionnements spai) et on teste numeriquement l'optimalite asymptotique d'une strategie adaptative simple. Par ailleurs, un nouveau cadre theorique est introduit permettant le traitement adaptatif des conditions aux limites de dirichlet non homogenes pour les problemes du second ordre. Pour le probleme de stokes, l'etude porte sur la construction de discretisations vitesse-pression compatibles dans un cadre adaptatif (i. E. Non uniforme). On introduit en particulier une famille de discretisations permettant d'obtenir pour un ensemble arbitraire d'ondelettes de pression, une discretisation compatible de la vitesse minimale.