Abstract FR:

Le théorème de Brouwer "toute fonction continue d'un convexe compact non vide de IRAn vers lui-même admet un point fixe" a permis d'initier la théorie du point fixe. On se propose dans cette thèse d'affaiblir les hypothèses de continuité, de compacité et de convexité. Cette thèse est structurée en trois parties. La première partie est consacrée aux équilibres de Nash. On donne une preuve simple et directe du théorème d'existence d'équilibre de Nash dans un jeu à meilleure réponse sécurisée et avec des fonctions de paiement discontinues et définies sur un espace non nécessairement séparé. La preuve repose sur le théorème d'existence d'éléments maximaux compétitifs de Deguire et Lassonde (1995). Dans la deuxième partie, on introduit une notion de coercivité pour les correspondances définies sur des L-espaces (convexité généralisée). Le résultat principal est une extension du principe FKKM aux correspondances admettant une famille coercive et définies sur un L-espace. On donne quelques applications de ce théorème aux inégalité minimax et variationnelles. Dans la troisième partie, on introduit la notion de correspondances antipodalement approchables et on présente une extension du théorème de Borsuk antipodal (1933) (existence de zéro) aux correspondances antipodalement approchables à valeurs non convexes. Ce résultat est aussi une généralisation du théorème de Borsuk-Ulam et admet une formulation en termes de point fixe.