Abstract FR:

L'origine de ce travail est l'étude d'un problème industriel sur la mise en forme de cristaux par l'intermédiaire des forces capillaires. Le modèle mathématique utilisé consiste à résoudre un problème surdimensionné basé sur l'équation à courbure principale. Nous avons résolu le problème en lui associant un problème d'optimisation de forme. Le travail présenté dans cette thèse comprend deux principales parties : - l'étude mathématique de l'équation à courbure principale avec conditions aux limites mixtes - l'étude mathématique et numérique du problème d'optimisation de forme. Nous avons prouvé l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation à courbure principale moyennant une hypothèse liant la courbure et l'épaisseur du domaine. Cette condition est bien moins restrictive que celle usuellement utilisée qui suppose le domaine convexe. Dans cette classe de domaines, nous avons ensuite prouvé l'existence d'un domaine optimal et mis au point une méthode numérique pour le calculer, par la technique de variation de domaine. Cependant, numériquement, cette méthode nécessite la donnée d'un bon domaine initial. Si ce dernier est mal choisi, l'algorithme diverge vers une forme souvent fantaisiste. Pour obtenir automatiquement un bon domaine initial, nous avons utilisé une technique d'optimisation de forme par domaine fictif. Nous avons ensuite présenté les résultats numériques ainsi obtenus