Une étude comparative entre des schémas numériques 2D et splitting pour des e. D. P hyperboliques non linéaires bidimensionnelles dans le cadre des fonctions généralisées
Institution:
Antilles-GuyaneDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This work is devoted to the theoritical research and to the numerical calculus of weak solutions (in the sens of generalized functions) for the non linear transport equation8u 8f(u) 8g(u)8t (x,y,t) +a(x,y,t)-ax(x,y,t) +b(x,y,t)fiij(x,y,t) = °pour t > 0with the initial condition u(x, y, 0) = uo(x, y) where the functions {(x, y, t) --;. A(x, y, tn and {(x, y, t) --;. B(x, y, tn belong to L00 (R2 X R+) (but can be discontinuous), the functions f and g are smooth and monotonous, the function ((x,y) --;. Uo(x,yn belongs to Loo(JR2). We recall the necessary notions on nonlinear generalized functions for introducing their tensorial product. The main results (to determine the weak solutions) are sufficient conditions so that, when a sum of generalized functions (like Heaviside or Dirac products) is associated with zero, each terms of the sum is equal to zero. Thanks to these theoretical results, we can solve the Riemann problem with the help of a solver written like tensorial product of Heaviside functions (or like a sum of tensorial product of Heaviside functions) in order to obtain the weak solutions. These weak solutions allow to develop two dimensional numerical Godunov type schemes. Then, numerical tests are performed which give a comparison between the results obtained by these 2D schemes and the ones of the splitting method. These tests prove that the 2D numerical schemes are as reliable as the ones obtained by splitting. They are also more simple in their expression. Moreover, a more detailed comparative study of the two types of numerical schemes show that the 2D schemes are far less expensive in the linear case as well as in the non linear case. They are stable for the LOO norm, unlike the splitting schemes.
Abstract FR:
Nous nous intéressons à la recherche et au calcul numérique de solutions faibles (au sens des fonctions généralisées) de l'équation de transport non liné̕̕̕̕aire~ ~M&t (x,y,t) +a(x,y,t)-ax(x,y,t) +b(x,y,t)fiij(x,y,t) °pour t > 0 complétée de la condition initiale: u(x,y,O) = Uo(x,y) où les fonctions {(x,y,t) --;. A(x,y,tn et {(x, y, t) --;. B(x, y, tn appartiennent a Loo(R2 x R+) (mais peuvent etre discontinues), les fonctions f et g sont lisses et monotones, la fonction ((x,y) --;. Uo(x,yn appartient a Loo(R2). Des rappels sur les fonctions generalisees nous permettent d'introduire leur produit tensoriel. Un des resultats des (pour determiner ulterieurement les solutions faibles cherchees) donne des conditions suffisantes pour que, lorsqu'une somme de fonctions generalisees (de type produit d'Heaviside ou de Dirac) est assocille a 0, chacun des termes de la somme est nul. Grace a ces resultats theoriques, on rllsout Ie probleme de Riemann 2D a Paide d'un solveur s'llcrivant comme produit tensoriel de fonctions type Heaviside (ou comme somme de produit tensoriel de fonctions type Heaviside) afin d'obtenir les solutions faibles. Ces solutions faibles permettent la construction des schemas numeriques de type Godunov 2D. Nous les validons par des test numeriques comparant les resultats obtenus par ces schemas 2D et ceux de la methode du splitting. Ces tests montrent que les scMmas numeriques 2D sont aussi fiables que ceux par splitting, alors qu'ils sont plus simples dans leur ecriture. Une etude comparative plus complete entre les deux types de schemas numeriques montre de plus que les schemas 2D sont nettement moins collteux a la fois dans les cas lineaire et non lineaire et qu'ils sont stables pour la norme Loo, contrairement aux schemas par splitting.