Abstract FR:

L'ensemble des solutions d'une equation differentielle algebrique, ordinaire ou aux derivees partielles se scinde entre la solution generale et les solutions singulieres. Ces notions peuvent etre definies de maniere rigoureuse dans le cadre de l'algebre differentielle, une theorie fondee par j. F. Ritt. Des travaux recents dans ce domaine ont permis de mettre au point des algorithmes effectifs pour determiner la trivialite d'un systeme differentiel en effectuant une premiere decomposition. On peut ainsi determiner si une equation differentielle admet des solutions singulieres et quelles sont elles. Les decompositions obtenues ne sont neanmoins pas minimales. Nous proposons un algorithme, qui evite les factorisations, pour eliminer les composantes redondantes. En termes analytiques, il s'agit de distinguer les solutions singulieres essentielles, qui sont enveloppes de la solution generale, des solutions singulieres particulieres, qui sont limites de solutions essentielles. Au cur de cette determination se tient le theoreme des petites puissances, la realisation effective etant soutenue par l'algorithme rosenfeld-grobner. Nous presentons de plus un algorithme et quelques criteres qui permettent de calculer les bases differentielles des composantes essentielles. De telles bases permettent une analyse des points singuliers ainsi que des heuristiques d'integration.