Abstract FR:

Le travail présenté dans ce document concerne la simulation de la propagation d'ondes en milieu complexe. Notre démarche est la suivante. Sur une grande partie du domaine de propagation, nous utilisons des techniques classiques de discrétisation, typiquement le schéma de Yee, pour approcher les équations de Maxwell tandis qu'au voisinage des obstacles, nous utilisons un raffinement de maillage local afin de mieux tenir compte de détails géométriques. Nous sommes alors amenés à prendre un pas de temps local afin d'éviter l'augmentation de la dispersion numérique dans la grille principale. Le problème délicat est alors de trouver un bon schéma de raccord entre les deux grilles. Dans un premier temps nous réalisons une étude mathématique et numérique de la méthode classiquement employée dans la littérature électromagnétique utilisant des interpolations spatio-temporelles à l'interface entre les deux grilles. Les résultats de notre étude mettent en évidence que ce genre de schéma conduit bien souvent à un nouveau type d'instabilité difficilement contrôlable. Dans une deuxième partie, nous présentons une nouvelle stratégie de raccord permettant d'assurer la stabilité. La méthode, repose sur le raccord <single high-reversed-9 quotation mark>faible<right single quotation mark> des inconnues sur l'interface. Elle permet la conservation d'une énergie discrète, et par suite assure la stabilité. Dans une troisième partie nous montrons que ce schéma s'inscrit dans un cadre variationnel très général. Le schéma de raccord s'apparente à la méthode des éléments joints et s'effectue via l'introduction d'un paramètre de Lagrange défini sur l'interface. Cette généralisation nous permet de réaliser de façon systématique le raffinement de maillage spatio-temporel pour les équations de Maxwell 3D.