Mesures discrètes pour l'imagerie
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Abstract EN:
In this PhD thesis, we have studied estimators of measure for imaging. Our goal is to design in image analysis robust algorithms for the reconstruction of quantitative information: measures of perimeter, area, volume, etc. . . To estimate the perimeter, we studied two classes of estimators: the local estimators and semi-local estimators. For these estimators, the curve is seen as a discrete set of patterns that are associated with a weight: the size of the patterns does not change with the resolution r for the local estimators, although these sizes are strictly increasing in 1/r for the semi-local estimators. We proved that the local estimators almost never converge (in the sense of Lebesgue measure) to the exact perimeter values when the resolution r of the discrete space tends to 0, even for some specific types of curves, such as pieces of a special class of parabolas, and we also proved that the semi-local estimators converge to the exact perimeter values for any curve of class C2. For the estimation of measure of area, volume etc. , we studied the class of local estimators. These estimators are based on the same principle as for local estimators of perimeter, and we proved the same result of no convergence for this class of estimators for a class of even surfaces: pieces of planes. These results have been obtained by studying the frequencies of patterns in the discretizations of curves and surfaces. These studies have yielded results on combinatorial rectangular patterns (ie (m, n)-cubes) by providing a lower and upper polynomial bounds for the number of (m,n)-cubes.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous avons étudié les estimateurs de mesure pour l'imagerie. Notre objectif est de concevoir, en l'analyse d'images, des algorithmes robustes pour la reconstruction de certains informations quantitatives : mesures de périmètre, d'aire, de volume, etc. . Pour l'estimation de périmètre, nous avons étudié deux classes d'estimateurs : les estimateurs locaux et les estimateurs semi-locaux. Pour ces estimateurs, la courbe discrète est vue comme un ensemble de motifs auxquels sont associés des poids : les tailles des motifs ne changent pas avec la résolution r pour les estimateurs locaux, alors que ces tailles sont strictement croissantes en 1/r pour les estimateurs semi-locaux. Nous avons démontré que les estimateurs locaux ne convergent presque jamais (au sens de la mesure de Lebesgue) vers les les valeurs exactes des périmètres lorsque la résolution r de l'espace discret tend vers 0 même pour une classe courbes : des morceaux d'une sous-classe de paraboles, et nous avons démontré aussi que les estimateurs semi-locaux de périmètre convergent vers les valeurs exactes des périmètres pour toute courbe de classe C2. Pour l'estimation de mesure d'aire, de volume etc. , nous avons étudié la classe des estimateurs locaux. Ces estimateurs sont basés sur le même principe que les estimateurs locaux de périmètre, et nous avons démontré le même résultat de non convergence pour cette classe d'estimateurs même pour une classe de surfaces : des morceaux de plans. Ces résultats ont été obtenus en étudiant les fréquences de motifs dans les discrétisations des courbes et des surfaces. Ces études ont permis d'obtenir des résultats combinatoires concernant les motifs rectangulaires (i. E. Les (m,n)-cubes) en donnant notamment des encadrements polynomiaux du nombre des (m,n)-cubes.