Substitutions sur la droite et dans le plan
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This memoir is split in two parts of three chapters each. The theme of the first part is S-adic words. The first chapter is concerned with the convergence of S-adic sequences; we propose a general form for the accumulation points of S-adic sequences, and infer from it general sufficient conditions for the convergence. In the second chapter, conditions on the alphabet of substitutions for the S-adic words to form an attractor in the set of infinite words. When these conditions are met, we adumbrate a way to a solution of the S-adic conjecture. The first step, a more systematic study of the factorial complexity of fixed points of substitutions, is taken and partial results are obtained. In the third chapter, we touch upon the question of the existence of frequencies for letters in S-adic words through the action of substitutions on the frequency simplex. The second part is concerned with tilings of the plane with square and colored tiles. In the fifth chapter, we propose a representation of patches by graphs and give necessary and sufficient conditions for a graph to represent a patch. In the sixth chapter we define bidimensional substitutions as transformations of the vertices ans edges of the graph representing patches; necessary and sufficient conditions for a graph thus built to represent a patch are given. In the seventh chapter we propose a construction of S-adic tilings of the plane by square and colored tiles.
Abstract FR:
Ce mémoire est scindée en deux parties de trois chapitres chacune. Il est question dans la première partie d'écritures S-adiques de mots. On étudie dans le premier chapitre la con¬vergence des écritures S-adiques; on y propose une forme générale des valeurs d'adhérences de telles écritures, et en déduisons des conditions suffisantes générales pour leur convergence. Dans le second chapitre, nous spécifions des conditions auxquelles les écritures S-adiques pour un alphabet de substitutions donné forment un attracteur. Nous ébauchons sous ces conditions une démarche pouvant mener à la conjecture S-adique. Une estimation systématique de la complexité factorielle d'un point fixe de substitution est nécessaire; nous proposons pour cela de nous aider du graphe des ancêtres de cette substitution; des résultats partiels sont obtenus. Dans le troisième chapitre, la question de l'existence de fréquences pour les lettres dans les écritures S-adiques est abordée via l'action des substitutions sur le simplexe des fréquences. La seconde partie traite de pavages substitutifs du plan par des tuiles carrées et colorées. Dans le cinquième chapitre, on donne une représen¬tation des motifs par des graphes, et isolons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un tel graphe représente un motif. Dans le sixième chapitre, nous définissons des substitutions bidimensionelle comme transformation des sommets et arêtes des graphes de lettres représentant des motifs; des conditions nécessaires et suffisantes pour que les graphes ainsi construits représentent des motifs sont dégagées. Dans le septième chapitre nous proposons un mode de construction de pavages S-adiques du plan.