La méthode de décomposition de domaines de Schwarz pour les problèmes linéaires et non-linéaires
Institution:
Paris 13Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The Schwarz domain decomposition methods are procedures to parallelize and solve partial differential equations numerically, in which each iteration involves the solutions of the original equations on smaller subdomains. Together with the development of domain decomposition methods, a theory of convergence for the methods is really needed and many efforts have been made in this direction; however, the problem still remains open, even for classical methods. In the first part of the thesis, we introduce a new method to solve the convergence problem of Schwarz methods. Our method works for parabolic and elliptic equations, linear and non-linear. In the second part, we apply our method to study the primitive equations and the forward-backward stochastic differential equations, where a new four-step domain decomposition scheme is introduced, based on the four-step scheme of Ma, Protter and Young. Optimized Schwar methods is a new class of Schwarz methods, which converges much faster than the classical ones, thanks to the improvement of the transmission conditions. In the third part of this thesis, we study this class of algorithms with Robin and second order transmission conditions for heat equation in 1 and 2 dimensions.
Abstract FR:
Les méthodes de décomposition de domaines sont des procédures pour paralléliser et résoudre les équations aux dérivées partielles numériquement : à chaque itération on résout les équations originales sur les sous-domaines. Avec le développement des méthodes de décomposition de domaines, une théorie de convergence est nécessaire et beaucoup d’effort a été fait dans cette direction de recherche; cependant le problème est encore ouvert, même pour les méthodes classiques. Dans la première partie de cette thèse, on propose une nouvelle méthode pour résoudre le problème de convergence des algorithmes de Schwarz. Notre méthode s’applique aux équations elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires. Elle est considérée quand les solutions sont aux sens fort et faible, et même quand il y a une explosion des solutions en temps fini. Dans la deuxième partie, nous appliquons notre théorie de convergence aux équations primitives de l’océan et aux équations différentielles stochastiques, où un nouveau schéma de décomposition de domaines à quatre étapes est introduit, basé sur le schéma de quatre étapes pour les équations de différentielles stochastiques du type forward-backward de Ma, Protter et Yong. Les méthodes de Schwarz optimisées forment une nouvelle classe de méthodes de Schwarz qui permettent aux algorithmes de converger plus vite dans tous les cas avec ou sans recouvrement grâce à l’amélioration des conditions de transmission. Dans la troisième partie de cette thèse, nous étudions ici cette classe d’algorithmes avec les conditions de transmission de Robin et d’ordre deux pour l’équation de la chaleur en dimensions 1 et 2.