Abstract FR:

Etant donné un système hamiltonien, nous définissons une structure dite quasi-bihamiltonienne qui généralise la notion de structure bihamiltonienne classique. Cette structure est définie si le champ hamiltonien l'est aussi vis-a-vis d'une seconde forme symplectique, après l'avoir multiplie par un facteur intégrant. Nous étudions le cas Pfaffien en dimension quatre. Dans ce cas, lorsque les deux structures sont compatibles, les valeurs propres (supposées distinctes) de l'opérateur de Nijenhuis ne sont pas nécessairement des intégrales premières du champ hamiltonien. De plus, si elles sont réelles et fonctionnellement indépendantes, elles confèrent a l'hamiltonien la forme de Gantmacher et sont ainsi des variables séparant l'équation de Hamilton-Jacobi. Nous montrons ensuite qu'un système hamiltonien possédant une telle structure est complètement intégrable en un sens a préciser. La deuxième partie est consacrée a l'étude des crochets de Jacobi qui sont Poisson-conformes. Nous montrons essentiellement que tout conforme d'un tenseur de Poisson de rang inférieur ou égal a deux est de poisson et réciproquement. La dernière partie concerne la notion de compatibilité des crochets de Jacobi qui sont Poisson-conformes