Abstract FR:

L'objet de la these est l'etude mathematique de quelques problemes de mecanique des fluides. Dans une premiere partie, on s'interesse aux equations de navier-stokes, relatives a un fluide visqueux incompressible, en trois dimensions d'espace, avec des conditions aux limites periodiques. On suppose que le champ de vitesse initial est proche d'un champ bidimensionnel, et l'on demontre des resultats de stabilite de la solution associee, ainsi qu'une nouvelle estimation du temps eventuel d'explosion. Ces differents resultats conduisent en particulier a un theoreme d'unicite des solutions a la leray des equations de navier-stokes quand la donnee initiale est bidimensionnelle. Les methodes employees s'inspirent d'idees de w. Von wahl. Les deux chapitres suivants de la these concernent des fluides geophysiques, parfaits ou visqueux, ainsi que les fluides parfaits, faiblement compressibles. On demontre des resultats concernant le temps d'existence des solutions de telles equations, ainsi que des resultats asymptotiques sur ces solutions. Les techniques utilisees reposent sur l'etude de limites singulieres dans des systemes hyperboliques ou paraboliques ; en particulier on etudie l'influence de penalisations antisymetriques, ainsi que l'effet produit par de fortes oscillations en temps sur de tels systemes, en s'inspirant des travaux de s. Schochet. Enfin l'objet du dernier chapitre est l'etude d'un schema numerique pour l'equation du tourbillon bidimensionnelle periodique, propose par v. Zeitlin, dont la particularite est de preserver la structure hamiltonienne de l'equation. En utilisant de l'analyse de fourier, associee a des techniques de calcul paradifferentiel de j. -m. Bony, on demontre des resultats de stabilite, de consistence et de convergence du schema.