Abstract FR:

Cette thèse est consacrée aux problèmes de détermination du nombre de racines d'un polynôme dans des régions du plan complexe. Cette étude intervient en système dynamique et en traitement du signal. La suite de Sylvester-Habicht Hj issue des sous-résultants classiques de deux polynômes est l'outil principal dans ce travail. Le nombre de racines dans le demi-plan supérieur d'un polynôme P = A + iB est obtenu par un calcul de variation en signes dans la suite de Sylvester-Habicht de A et B. Pour un polynôme P à coefficients réels, nous présentons un nouvel algorithme pour le calcul du nombre ND(P) de racines dans le disque unité ouvert en exprimant la suite Hj dans la base de Tchébychev ; cette méthode consiste à construire une suite fj avec des polynômes de Tchébychev et à montrer que cette suite est proportionnelle sous certaines conditions à Hj pour en déduire un nouvel algorithme de calcul de ND(P). Pour un polynôme à coefficients complexes on utilise la suite des sous-transformées de Schur-Cohn et montrons la relation avec les sous-résultants symétriques. Enfin nous donnons une méthode polynomiale de calcul du nombre de racines d'un polynôme à l'intérieur d'une courbe rationnelle simple et fermée.