Étude d’équations différentielles abstraites du second et quatrième ordre sur la demi-droite, et applications
Institution:
Le HavreDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This work is devoted to the study of abstract second and fourth order differential equations set in R+. We gives examples to which our abstract results can be applied. For the problems studied, we use the theory of analytic semigroups, Dunford operational calculus and in particular fractional powers of operators to build the formal representation of the solution. The regularity of solution is obtained by studying precisely this representation. In a first step we study the second order abstract differential equation uʺ+2Buʹ+Au=f, in two different frameworks : 1) f\in Lp (1<p<+∞) 2) f is θ-hölderien (0<θ<1). In the Lp case, the regularity of the solution is given using the sum theory of G. Dore-A. Venni and the interpolation theory. In the hölderian case we study the regularity of the solution using the works of G. Da Prato, P. Grisvard et E. Sinestrari. Finally the results obtained for the second ordre allow us to solve the fourth order abstract differential equation u^{(4)}+2B uʺ+Au=f in Lp.
Abstract FR:
Ce travail est consacré à l'étude d'équations différentielles abstraites du second et quatrième ordre sur R+. Des exemples d'applications de nos résultats abstraits sont systématiquement donnés. Pour chaque problème étudié, on utilise la théorie des semi-groupes analytiques, le calcul fonctionnel de Dunford et en particulier les puissances fractionnaires d'opérateurs pour construire la représentation formelle de la solution. L'analyse précise de cette représentation, nous permet de donner la regularité de la solution. Dans un premier temps, on étudie l'équation différentielle abstraite du second ordre uʺ+2Buʹ+Au=f dans deux cadres fonctionnels distincts : 1) f\in Lp (1<p<+∞) 2) f est θ-höldérienne (0< θ <1). Dans le cadre Lp la régularité de la solution est obtenue en utilisant la théorie des sommes d'opérateurs de G. Dore-A. Venni et la théorie de l'interpolation. Dans le cadre höldérien on étudie la régularité de la solution en utilisant les travaux de G. Da Prato, P. Grisvard et E. Sinestrari. Enfin les résultats obtenus pour le second ordre nous permettent de résoudre l'équation différentielle abstraite du quatrième ordre u^{(4)}+2B uʺ+Au=f, dans Lp.