Abstract FR:

Nous nous intéressons aux propriétés mathématiques de systèmes excitables issus de la modélisation en neurosciences mathématiques. Ces modèles s'écrivent à l'aide d'équations différentielles non linéaires couplées pour lesquelles nous cherchons à identifier les mécanismes biophysiques émergents à l'aide d'outils mathématiques provenant de la théorie des bifurcations et de méthodes perturbatives. Une grande partie des résultats analytiques utilise une modélisation des non-linéarités à l'aide de la fonction de Heaviside, on fonction échelon. Dans un premier temps, nous étudions le système de FitzHugh-Nagumo linéaire par morceaux ainsi que sa généralisation comme système de Liénard. Plus particulièreùent, nous nous intéressons aux régimes transitoires, i. E. L'émission d'un nombre fini de potentiels d'action et aux régimes asymptotiques, i. E. L'existence de cycles limites. Pour d'autres classes de modèles, modèle de populations neuronales et modèle d'oscillateurs neuronaux, nous déterminons les bifurcations et étudions les phénomènes de synchronisation. Nous terminons par l'étude d'une propagation d'origine synaptique, dans un réseau de neurones, et d'une propagation saltatoire, le long de l'axone d'un neurone. Ces milieux, dits actifs, ont une structure spatiale discrète et sont décrits par un système d'équation différentielle indicées sur ZZ, pour lequel l'existence et les propriétés des solutions bornées de l'équation d'onde associées au milieu sont étudiées.