Etude mathématique et numérique des vibrations des structures cycliques ou partiellement cycliques
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Abstract EN:
This work deals with the exploitation of the geometric and mechanical symmetry to analyze mathematically and numericlly, the vibrations of cyclic or partially cyclic structures. Group representation theory is first applied to the study of vibration problems of a cyclic system of order N. We have shown, by tacking into account the rotatory character of vibration modes, that instead of solving the original eigenvalue problem on the whole domain, one can solve (N/2) +1 (for N even) or (N+1)/2 for N odd) problems on the symetry cell. Furthermore, a transfert matrix method is used to show that, within each free propagation zone (pass-band) the natural frequencies of a finite mono-coupled cyclic system are forming distinct discret groups (paquets). Each paquet contains exactly as many frequencies as the number N of sub-systems forming the whole system. These frequencies are all double except two of them if N is even (or only one if N is odd) witch are simple and are limiting the paquets. The last part of this work deals with the effects of small imperfections on the vibratory behaviour of a cyclic system. It has been shown how one can proceed to predict the perturbed eigenvalues according to the interspan coupling. The natural modes and frequencies of free vibration of a monocoupled cyclic assembly with a single disordered component have been analyzed by a new approach based on the wave propagation theory. An analytical solution has been obtained for the system's modes and the corresponding spectral distribution. It is shown that the key parameter that governs the sensitivity to mistuning is the dynamic coupling
Abstract FR:
Le travail de la présente thèse porte sur l'exploitation de la symétrie (géométrique et matérielle), en vue de l'analyse mathématique et numérique des vibrations des structures cycliques ou partiellement cycliques. En utilisant la théorie des représentations linéaires des groupes finis, et en tenant compte du caractère tournant que présentent les modes de vibrations d'un système cyclique d'ordre n, nous avons démontré, mathématiquement, comment la résolution d'un problème aux valeurs propres d'ordre m quelconque peut être remplacée par la résolution de N/2 + 1 (N pair) ou N+1 /2 (N impair) problèmes sur le motif de base. Les conséquences discrètes de la symétrie cyclique ont fait, a l'issue de cette analyse, l'objet d'implémentations informatiques dans un code de calcul par éléments finis. La méthode de la matrice de transfert a ensuite été employée pour démontrer que les fréquences naturelles d'un système cyclique mono-couple se regroupent dans des paquets discrets au sein des bandes passantes. Nous avons évaluer le nombre exact de fréquences dans chaque paquet, retrouver leur dégénérescences est, le plus important, identifier les fréquences qui limitent ces paquets. La dernière partie est consacrée a l'étude de l'influence de désaccords sur les propriétés modales d'un système cyclique. Nous avons présenté, d'une part, une synthèse critique des méthodes de perturbations des problèmes aux valeurs propres suivant la force du couplage inter-structural. D'autre part, une démarche d'analyse de l'évolution du comportement spectral d'un système cyclique mono-couple, sous l'effet de petites imperfections, a été proposée. Cette démarche est inspirée de la théorie de la propagation des ondes