Abstract FR:

La première partie de cette thèse est consacrée au problème suivant : soit une convexe compact qui se déforme avec le temps suivant une loi de type différentiel, comment interpréter ce phénomène en terme de solution d'une équation différentielle ou la variable d'état serait une convexe compact ? Ce type de problème apparaît, par exemple, en contrôle optimal ou dans l'étude des ensembles atteignables d'une inclusion différentielle. On précisera ici les notions de différentielles d'une multi application et de champs de vecteurs sur l'ensemble des convexes compacts et on donnera un résultat d'existence. On étudiera surtout les champs de vecteurs construits avec une nouvelle opération (dite de convolution) sur les convexes compacts, liée au groupe des rotations en dimension finie. La deuxième partie traite de la viabilité d'un ferme pour une inclusion différentielle du second ordre. Il s'agit d'établir des conditions d'existence de solutions qui demeurent localement dans le ferme. La construction de solutions passe par l'étude du fibre tangent de ce ferme, à travers deux approches : a) la notion d'admissibilité sur le fibre tangent (avec S. Gautier, R. Morchadi) b) l'introduction d'une fonction spéciale sur ce fibre. On évite ainsi les hypothèses fortes sur le fibre tangent données par Cornet-Haddad ou Auslender-Mechler.