Abstract FR:

On propose une contribution à l'étude analytique d'équations de continuité intervenant dans de larges domaines de la mécanique des milieux continus et pour lesquelles on prend en compte l'influence de l'état instantané du système physique sur le tenseur de diffusivité. Les opérateurs différentiels rencontrés sont du type de Leray-Lions ou dégénérés au sens des modèles usuels des milieux poreux. Plus précisément, on introduit une classe de problèmes de Cauchy de type divergentiel quasi linéaires dégénérés associés à des conditions de bord de type Dirichlet ou de type Mele sur le bord d'un ouvert lipschitzien borné. Dans une première partie, on obtient l'existence d'une solution faible et l'unicité est prouvée dès lors que les coefficients de la matrice de diffusivité dépendent de façon holderienne de l'inconnue du problème. On décrit le comportement asymptotique de la solution et le caractère localement hyperbolique. De plus, lorsque la condition initiale vérifie des hypothèses supplémentaires, on obtient un résultat de régularité. Ensuite, on généralise ce qui précède en tenant compte d'un terme de transport non linéaire et on est en mesure d'assurer que toute solution faible du problème est une solution du type de Kruskov. Dans une deuxième partie, on s'intéresse au problème d'évolution lorsque le tenseur de diffusivité dépend des variations de l'évolution du système physique. En outre, on introduit une contrainte unilatérale sur une partie du bord, pour prendre en compte dans la modélisation un effet d'extrémité ou de puits. Par une méthode de point fixe associée à une méthode de pénalisation, on établit un résultat d'existence. De plus, l'unicité est obtenue en adaptant au cas d'évolution certaines idées développées pour des modèles stationnaires.