Abstract FR:

Le contexte médical de cette thèse est la quantification de la fonction contractile (fonction mécanique) du coeur, dans le but d'améliorer le diagnostic de certaines pathologies cardio-vasculaires telles que l'ischémie myocardique. Il s'agit d'abord d'extraire d'images acquises chez le patient l'anatomie du coeur. Cette opération, dénomée segmentation dans la terminologie du traitement d'images, reste un problème ouvert. L'approche de segmentation étudiée dans ce manuscrit est basée sur le principe des modèles déformables volumique. Elle est baptisée Gabarit Déformable Elastique (GDE). On se donne d'abord une représentation géométrique qui est proche de l'objet à segmenter. Ce modèle est positionné dans l'image par une transformation affine à proximité de la structure à extraire. Le GDE est ensuite déformé avec un champ de forces issu de l'image pour s'ajuster aux surfaces de l'objet étudié. La contribution de cette thèse porte sur cette dernière étape de déformation du modèle. Le problème est formulé en terme d'optimisation sous contrainte de régularité des déformations et sous des contraintes géométriques. L'énergie globale est composée de deux termes ; le premier terme (d'attache aux données) est calculé à partir des données d'image. Son rôle est de guider les déformations du modèle vers la structure cible. Le second introduit une contrainte de régularité sur les déformations souhaitées. Sa présence assure que le problème est bien posé dans un espace fonctionnel approprié. Nous considérons les cas où, le terme de régularisation est celui de l'élasticité linéaire et d'une régularisation non-linéaire. Ceci nous conduit à l'étude de trois GDE : le premier modèle est celui de l'élasticité linéaire sous contraintes géométriques. La minimisation de l'énergie linéaire sous contrainte de champ nul aux frontières de l'objet impose aux déplacements à transporter la frontière du GDE vers les points d'annulation du champ de forces (positionnement des surfaces). Nous donnons un résultat d'existence d'un minimum et des conditions nécessaires d'optimalité ainsi qu'un algorithme permettant d'approcher une solution des conditions d'optimalité. Le deuxième modèle est hyperélastique. Son étude se ramène à un problème d'élasticité non-linéaire en traction pure avec des forces suiveuses (les forces dépendant des déplacements). Nous donnons un résultat d'existence et d'unicité local, ainsi que des conditions suffisantes de convergence d'un algorithme incrémental permettant d'en trouver la solution. Finalement, nous proposons un modèle qui consiste à déplacer le domaine en résolvant successivement une suite de problèmes linéaires. L'approche linéaire ne s'applique que dans des cas de petits déplacements, par contre l'approche non-linéaire est valable pour des grands déplacements. Les algorithmes proposés sont mises en oeuvre avec la méthode des éléments finis. Le modèle non-linéaire hyperélastique est appliqué à la segmentation 3D et au suivi du coeur en imagerie cardiaque, notamment en Imagerie par Résonance Magnétique (IRM). Les résultats obtenus sur des cas réels montrent la pertinence et l'intérêt de notre approche. Le principe de ce modèle est générique et permet d'envisager son application à la segmentation de formes variées