Optimisation de problèmes de transport
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Abstract EN:
The main issue of the thesis is the study of the asymptotic behaviour of optimal transportation problems. Such problems occurs in economy and signal theory. Each of them consists in finding the best discrete measure u wich minimizes the transport to an absolute continuous measure f, subject to a constraint of the kind H(u)£m where H is a given entropy functional. In a first step, we study the case where f is a uniform density on a cube and H(u)=S (u(x))a with aÎ[0,1[. In the general case, we reduce the question of the asymptotic behaviour to the description of the G-limit of a suitable functionnal naturally associated to the Wasserstein distance. In the second part of the thesis, we present new applications of transport problems with time depending cost. The particular case of homogeneous cost (depending only on the average speed) allows us to write optimality conditions for the Wasserstein transport Wp (p>1) as a system of equations (eikonal-diffusion) written in the sense of measures. This generalizes the results obtained in the case p=1 ( L. Evans and W. Gangbo, G. Bouchitté and G. Buttazzo) and those of Brenier (p>1) to the case where the transported measures are singular.
Abstract FR:
L'essentiel de la thèse est consacré à l'asymptotique d'une suite de problèmes de transport. Dans chacun de ces problèmes dont diverses variantes apparaissent en économie mathématique et en théorie du signal, il s'agit de trouver une mesure discrète minimisant le transport vers une mesure absolument continue donn\'ee f et vérifiant une contrainte du type H(u)£m où H est une entropie donnée et m est un paramètre que nous faisons tendre vers +∞. Dans un premier temps, nous étudions le cas où f est une densité uniforme sur un cube et H(u)=S (u(x))a avec aÎ[0,1[. Dans le cas général, nous ramenons l'asymptotique de tels problèmes à la détermination de la G-limite de fonctionnelles naturellement associées à la distance de Wasserstein. Dans une deuxième partie de la thèse, nous présentons des perspectives nouvelles de problèmes de transport avec coût dépendant du temps. Le cas particulier de coûts "homogènes" (ne dépendant que de la vitesse moyenne) permet d'écrire des conditions d'optimalité pour le transport de Wasserstein Wp (p>1) sous forme d'un système d'équations eikonale-diffusion (écrit au sens des mesures). Ceci généralise les résultats du cas p=1 ( L. Evans et W. Gangbo, G. Bouchitté et G. Buttazzo) et ceux de Brenier (p>1) au cas où les mesures transportées sont singulières.