Abstract FR:

Après un tour d'horizon des connaissances actuelles sur les phénomènes biologiques mis en jeu, nous avons élaboré un premier modèle de diffusion des médicaments à travers les capillaires et dans les tissus à la suite d'une injection dans le système circulatoire. Pour résoudre les équations obtenues, nous avons utilisé de nombreuses méthodes d'analyse numérique classiques ou originales. Nous avons ensuite validé qualitativement et quantitativement le modèle et nous l'avons utilisé pour déterminer la valeur de certains paramètres biologiques. Nous avons aussi élaboré un modèle plus complet, tenant compte de l'interaction des capillaires, dont la résolution a permis de montrer que le modèle simple en était finalement une bonne approximation. La seconde partie de notre travail a été consacrée à l'étude d'une méthode de résolution d'équations ouvrant de nouvelles perspectives, par exemple en biomathématiques. Cette méthode, développée par G. Adomian, permet d'approcher formellement, d'aussi près que l'on veut, les solutions de nombreux types d'équations, en particulier non linéaires. Nous proposons ici les bases théoriques qui manquent à cette méthode décompositionnelle. Nous présentons les principales définitions, les théorèmes les plus utiles et leurs démonstrations rigoureuses. Nous avons aussi construit les schémas pratiques et nous avons précisé leurs conditions de convergence. Ensuite, nous nous sommes intéressés aux équations fonctionnelles. Nous avons démontré que l'on pouvait résoudre (avec des hypothèses faibles) les équations intégrales de forme canonique, les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles associées à des conditions de Dirichlet. Pour apporter les preuves de la puissance de la méthode, nous avons exposé des résultats analytiques et numériques convaincants, obtenus à l'aide de logiciels de calcul formel.