Applications trilinéaires alternées et courbes cubiques elliptiques généralisées. Classification et utilisations cryptographiques
Institution:
Toulouse, INSADisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Our work deals with the classification-results about : 1) the Alternate Trilinear Mappings (ATMs) from V^3 to W, up to changes of basis of the K-vector spaces V and W, and 2) Generalized Elliptic Cubic Curves (GECCs) up to isomorphisms. We also discuss the use of projective Elliptic Curves for the constructing cryptosystems. For the ATMs, let B be a basis for V(n,K). Denote by AT(n,m,K) the set of Alternate Trilinear Mappings whose image has rank m. We keep on with the investigations of Cohen, Helminck and Revoy about the dollar K dollar - trilinear forms (m=1), by dealing with the case m>2. First we show how dollar B dollar may be chosen so as to maximize the total number of zero-image triples t(ei,ej,ek). We establish that AT(5,2,K) comprises at most 5classes whenever each field-element is quadratic. There are just 6 classes in AT(5,2,F3), and at least 13 classes in AT(6,2,F3) in which 13 non-equivalent representatives are exhibited. The computation of related invariants is carried out with a Fortran 90 programming. Concerning the GECCs, previous contributions of Keedwell and Buekenhout provided a classification of those of order <9. The entropic GECCs arise from abelian groups. The projective Elliptic Curves are well-known special cases. From a statement due to Schwenk we prove that there are just 4 entropic order 9 GECCs. Each one is a projective Elliptic Curve. Among the non entropic GECCs we are mainly concerned with the terentropic ones, in which the related abelian group is replaced by some commutative Moufang loop. Their order is a multiple of 81. We provide explicit descriptions of the all 81-order terentropic GECCs : there are exactly 15 pairwise non-isomorphic such GECCs, including 12 entropic GECCs. The 3 remaining ones are of class 2, in the sense that the related loop (E,* ) has an associator-mapping a obeying some pseudo-linearity : a (x* x',,y,z)= a (x,y,z) a (x',y,z). One of these involves only inflexion points, namely it is a Hall GECC (HGECC). By factorizing alpha one gets a one-to-one correspondence between the classes from AT(n,m,K) and the rank n+1 class 2 HGECCs of 3-order n+m. Now AT(7,1,GF(3^ s}) splits into 11 classes. We derive a complete classification and explicit descriptions of the 11 HGECCs whose rank and 3-order both equal 8. One of these hasfor automorphism group some extension of the Chevalley group G_2(F_3).
Abstract FR:
Notre travail concerne les classifications : (1) des Applications Trilinéaires Alternées de V^3 dans W, où V et W sont des K-espaces vectoriels, et (2) des Courbes Cubiques Elliptiques Généralisées. Nous évoquerons aussi l'utilisation des Courbes Elliptiques projectives pour la construction de certains cryptosystèmes. Pour les ATA définies sur V, de base B soit AT(n,m,K) l'ensemble de celles dont l'image est de rang m. Nous poursuivons les travaux de Cohen, Helminck et Revoy sur les formes (cas m=1 ) en abordant le cas m=2. Nous montrons comment choisir B de sorte que les triplets t(ei,ej,ek) d'image nulle soient aussi nombreux que possible. Nous établissons que AT(5,2,K) comporte au plus 5 classes quand tout scalaire de K est un carré. Il y a exactement 6 classes dans AT(5,2,F_3), et au moins 13 dans AT(6,2,F_{3}), car nous avons trouvé13 représentants ayant des invariants distincts, le calcul étant réalisé par un programme implémenté en Fortran 90. Concernant les CCEG, les travaux de Keedwell et de Buekenhout permettaient la classification de celles d'ordre n<9. Les CCEG entropiques sont celles qui proviennent d'un groupe abélien, les Courbes Elliptiques projectives en font classiquement partie. Avec un théorème de Schwenk nous prouvons qu'il y a exactement 4 CCEG entropiques d'ordre 9, toutes associées à des Courbes Elliptiques projectives. Parmi les CCEG non entropiques, nous étudions surtout les térentropiques (où l'analogue du groupe associé est une boucle de Moufang commutative). Leur ordre n est multiple de 81. Nous écrivons explicitement les CCEG térentropiques d'ordre 81: elles forment 15 classes d'isomorphie, dont 12 formées de CCEG entropiques. Les 3 autres classes sont constituées de CCEG où la boucle associée (E,*) est de classe 2 au sens que l'associateur a vérifie une ''pseudo-linéarité a (x*x',y,z)= a(x,y,z)* a (x',y,z); l'une d'elles est une CCEG de Hall, c. à. D une CCEG où tout point est d'inflexion. En factorisant a on établit une correspondance biunivoque entre d'une part, les classes des éléments de AT(n,m,F_{3}), et d'autre part les classes d'isomorphie des CCEG de Hall de rang n+1, de 3-ordre (n+m)et de classe 2. Or on montre que AT(7,1,GF(3^s)) admet 11classes. Nous déduisons une classification complète et des descriptions explicites des 11CCGH dont les rangs et les 3-ordres sont 8. L'une d'elles a pour groupe d'automorphismes une extension d'un groupe de Chevalley G_2(F_3)