Abstract EN:

Le premier volet de cette thèse traîte des méthodes de factorisation du type QR, concernant le cas symplectique. Ainsi, l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique (SGS) et ses versions modifiées sont étudiés en détail. En particulier, l'analyse d'erreurs de l'algorithme, nous a permis d'obtenir des majorations pour l'erreur dans la factorisation SR et pour la perte d'orthogonalité. Nous avons également introduit et étudié les transformations de Householder symplectiques. Une méthode de type Householder pour la factorisation SR a été introduite et construite en suivant des approches algébriques et géométriques. Des résultats sur l'erreur ont été obtenus. Enfin un lien entre l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique modifié et la factorisation SR via les transformations de Householder symplectiques a été établi. Le second volet est consacré à l'introduction et à l'étude des méthodes de type Krylov, conservant les structures d'une matrice, lorsque la taille de celle-ci est réduite, pour approcher certains vecteurs et valeurs propres de la matrice structurée originelle. Deux méthodes du type Arnoldi ont été proposées et étudiées. L'une utilise l'algorithme SGS, dans le procédé d'orthogonalisation, tandis que l'autre utilise les transvections de Householder. Enfin, nous avons aussi introduit et étudié des méthodes du type Lanczos symplectiques. Ces méthodes, contrairement aux méthodes classiques, permettent à la matrice réduite d'hériter de la structure Hamiltonienne, anti-Hamiltonienne ou symplectique de la matrice. La supériorité de ces méthodes pour le cas structuré ci-dessus, est l'objet du dernier chapitre. Elle est illustrée par des tests numériques.