Abstract FR:

Dans cette thèse nous considérons le problème du calcul de la fonction zêta et du nombre de points rationnels d'une courbe algébrique nondégénérée sur un corps fini. En utilisant les techniques de deformation en cohomologie rigide de Kedlaya et Lauder, nous développons un algorithme pour calculer ces objets dans ce cadre très général. Nous donnons de nouveaux resultats sur la structure intégrale de la cohomologie rigide des courbes nondégénérées, et à l'aide de quelques résultats récents sur les équations différentielles p-adiques, nous arrivons à améliorer les bornes pour la précision p-adique suffisante pour effectuer les calculs de façon prouvablement correcte. Notre algorithme a la même complexité asymptotique que l'algorithme existant de Castryck, Denef et Vercauteren, mais une implementation dans le système de calcul formel Magma montre que notre algorithme est plus pratique.