Abstract FR:

Au cours de cette thèse, on s’est intéressé à des problèmes de minimisation de fonctionnelles géométriques. Nous étudions les corps de largeur constante en dimension 2 et nous redémontrons le théorème de Blaschke-Lebesgue par la théorie du contrôle. Nous étudions aussi en dimension 3, le problème de minimisation du volume dans la classe des corps de largeur constante et à symétrie de révolution. Nous abordons ce problème par la théorie du contrôle et l'utilisation du principe de Pontryagin fournit des conditions nécessaires sur un minimiseur. Nous étudions ensuite le problème de minimisation de l'aire pour les rotors. Par le principe de Pontryagin, nous montrons qu'un minimiseur est formé d'une intersection finie d'arcs de cercle. Nous étudions également des propriétés d'optimalité locale des rotors réguliers pour la fonctionnelle d'aire en gnéralisant le résultat de Firey. Enfin, nous étudions le problème de minimisation de l'aire dans la classe des corps de largeur constante en dimension 3. Nous introduisons un espace fonctionnel permettant de représenter analytiquement ces objets. Nous en déduisons des conditions d'optimalité pour un minimiseur.