Deux études en gestion du risque : assurance de portefeuille avec contrainte en risque et couverture quadratique dans les modèles à sauts
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis I first study the problem of portfolio insurance from the point of view of a fund manager, who guarantees to the investor that the portfolio value will be above a fixed threshold. If it is not the case, a third party will refund the investor up to the guarantee. In exchange, the third party imposes a limit on the risk exposure of the fund manager, in the form of a convex monetary risk measure. The fund manager tries to maximize the investor's utility function subject to the risk measure constraint. I give a full solution to this non-convex optimization problem and show that the choice of the risk measure constraint. I give a full solution to this non-convex optimization problem and show that the choice of the risk measure is crucial for the optimal portfolio to exist. Explicit results are provided for the entropic risk measure, for spectral risk measures and for the G-divergence. In the secon part I study the problem of quadratic hedge in incomplete markets. I work with a three-dimensional Markov jump process : the first variable represents the hedging instrument and is not traded in the market, as a volatility factor ; the third one is a source of risk which affects the option's pay-off and is also not traded. I prove that the value function of the problem, as a function of the initial wealth, is a second order polynomial whose coefficients are characterized as the unique smooth solutions of a triplet of PIDEs, the first of which is semilinear and does not depend on the option, the other two being linear. This result is stated for non-degenerate jump-diffusions and for pure jump processes. I apply my results to an example in the context of electricity markets.
Abstract FR:
Dans la première partie, je m'intéresse à un problème d'assurance de portefeuille pour un manager d'un fond d'investissement, qui veut structurer un produit financier pour les investisseurs avec une garantie en capital. Si la valeur du produit est au dessous d'un seuil fixé, l'investisseur sera remboursé à la hauteur de ce seuil par l'assureur du fond. En échange, l'assureur impose une contrainte sur le risque que le manager peut tolérer, mesuré avec une mesure de risque. Je donne la solution de ce problème et je prouve que le choix de la mesure de risque est un point crucial pour l'existence d'un portefeuille optimal. J'applique mes résultats pour la mesure de risque entropique, spectrale et la G-divergence. Ensuite, je m'intéresse au problème de couverture quadratique. Le marché est décrit par un processus de Markov tridimensionnel avec sauts. La première variable modélise l'instrument de couverture échangeable sur le marché, la deuxième, un actif financier qui perturbe la dynamique de l'instrument de couverture et qui n'est pas échangeable, comme un facteur de volatilité ; la troisième représente une source de risque qui affecte l'option à couvrir et qui aussi n'est pas échangeable. Je prouve que la fonction valeur du problème est caractérisée par l'unique solution d'un système de trois équations integro-différentielles, dont l'une est semilinéaire et ne dépend pas de l'option à couvrir, et les deux autres sont linéaires. Cela me permet de caractériser la stratégie optimale. Ce résultat est démontré si le processus est non dégénéré (composante Brownienne strictement elliptique) et s'il est à sauts purs. Je conclus avec une application dans le marché de l'électricité.