Abstract FR:

Le sujet général de cette thèse est l'étude de l'existence, de l'unicité et de la stabilité de solutions d'équations aux dérivées partielles avec données mesures, avec pour objectif l'étude de systèmes concrets. Le problème de l'unicité pour des EDP elliptiques avec second membre mesure a été très largement étudié ces dernières années. La méthode présentée dans ce mémoire consiste principalement à remarquer que si le résultat de régularité obtenu sur le problème dual est "meilleur" que le résultat de régularité démontré par G. Stampacchia en 1965, alors on peut obtenir directement l'existence et l'unicité d'une solution faible à une EDP elliptique avec second membre mesure par un argument de dualité. Cette méthode est appliquée dans un premier temps pour un problème elliptique avec condition de Neumann. Pour se faire, nous commençons donc par généraliser le résultat de régularité de Meyers pour des équations elliptiques avec coefficients discontinus pour un grand nombre de conditions limites et pour des domaines à frontière lipschitzienne (chapitre 1). On reprend ensuite cette idée pour résoudre le problème de Stokes avec second membre mesure, en utilisant un résultat de régularité du type Agmon-Douglis-Niremberg (chapitre 4). Le principal sujet abordé est l'étude de systèmes d'écoulements diphasiques en milieu poreux avec termes sources mesures. Ce problème est très intéressant car, pour une simulation d'un gisement de pétrole on est effectivement amené à modéliser l'action des puits de production et d'injection par des mesures, leur taille étant très inférieure au diamètre des mailles de la discrétisation. L'étude de l'existence d'une solution à ces systèmes fait l'objet du chapitre 2. Les résultats utilisent entre autre un résultat de stabilité forte de la solution d'un problème elliptique avec condition de Neumann. On détaille tout particulièrement l'étude d'un écoulement immiscible, la présence d'une équation parabolique dégénérée posant quelques difficultés. Le chapitre 3 est consacré à l'étude de la stabilité d'une solution aux systèmes précédents quand le tenseur de perméabilité dépend d'un petit paramètre, autrement dit l'étude de l'homogénéisation. Avant d'étudier la question de l'homogénéisation pour les écoulements diphasiques en milieu poreux avec termes sources mesures, on présente le résultat de l'homogénéisation pour une équation parabolique dégénérée et un problème de Neumann avec second membre mesure (pour la formulation très faible de Stampacchia et la formulation faible). Enfin ce mémoire contient un certain nombre de rappels sur l'étude des EDP ellitptiques avec données mesures et la H-convergence.