Abstract FR:

Dans cette thèse on présente la méthode d'éclatement périodique pour l'homogénéisation dans des domaines perforés et on montre sur plusieurs exemples détaillés son intérêt mathématique. La théorie mathématique de l'homogénéisation a été introduite en 2002 par Cioranescu, Damlamian et Griso pour décrire le comportement asymptotique des matériaux composites présentant plusieurs hétérogénéités de tailles petites par rapport à la dimension globale du domaine en question. La méthode d'homogénéisation a d'innombrables applications, importantes en pratique, dans le domaine de la science des matériaux puisque les matériaux composites sont de plus en plus utilisés en industrie. L'intérêt de ces matériaux vient du fait qu'ils possèdent, en général, des meilleures « caractéristiques » que leurs composantes (un exemple étant le béton). Dans le cas d'un composite présentant plusieurs hétérogénéités, les méthodes numériques deviennent difficiles à implémenter, et les discontinuités -ainsi que les oscillations- constituent une source d'erreurs. C'est pourquoi on essaye de décrire le comportement global de ces matériaux en prenant en considération les caractéristiques locales des hétérogénéités. On peut caractériser un matériel à l'échelle locale, échelle dite « microscopique », i. E. En prenant en considération les propriétés de chacun de ses ingrédients : les hétérogénéités et la matrice qui l'entoure. Une telle caractérisation devient très difficile du point de vue numérique quand le nombre des hétérogénéités est très grand. L'idée sera alors de décrire le matériau à l'échelle « macroscopique », i. E. Traiter le composite comme un matériau homogène fictif. C'est exactement le but de la théorie de l'homogénéisation : donner un comportement effectif global du composite en négligeant les fluctuations dûes aux hétérogénéités et chercher une approximation la plus proche possible du composite original. La thèse comprend 6 chapitres et 4 annexes. Le Chapitre 1 est consacré à la présentation des trois méthodes classiques d'homogénéisation: la méthode des échelles multiples, la méthode des fonctions tests oscillantes de Tartar, la méthode de la convergence à deux échelles. Pour simplifier la présentation, on applique les trois méthodes successivement à un problème (standard). Nous verrons comment ces trois méthodes s'appliquent au cas des domaines perforés dans le Chapitre 5, en traitant des problèmes elliptiques avec des conditions de Fourier sur le bord des trous. Dans le Chapitre 2 on rappelle les résultats fondamentaux de la méthode d'éclatement périodique dans les domaines fixes. Cette approche combine une technique de « dilatation » avec une décomposition des fonctions inspirée de la méthode des éléments finis. On définit l'opérateur d'éclatement périodique et on cite ses principales propriétés. On remarquera entre autre que la convergence à deux échelles d'une suite de fonctions dans un espace de type Lp, est équivalente à la convergence faible de la suite éclatée. Le Chapitre 3 sert à présenter en détails la méthode d'éclatement périodique dans les domaines perforés. Une nouveauté essentielle par rapport au cas des domaines non troués est l'introduction d'un nouvel opérateur baptisé l'opérateur d'éclatement frontière qui agit sur les fonction définies au bord des trous. Comme application, on étudie un problème elliptique avec des conditions de Fourier sur la frontière. Le Chapitre 4 est consacré à l'étude d’un problème elliptique avec des conditions non linéaires au bord des trous. Un paramètre réel figure dans le problème à traiter et plusieurs résultats de convergence et de correcteurs sont présentés, dépendant de ce paramètre. Nous obtenons donc des problèmes limites différents. Plusieurs nouveaux résultats concernant l'éclatement périodique sont présentés dans ce chapitre et sont essentiels pour pouvoir étudier le comportement asymptotique de la solution du problème en question. Dans le Chapitre 5, on retrouve les résultats du Chapitre 3, en traitant le même problème par la méthode des échelles multiples. On procède d'abord par la méthode de Tartar et ensuite par l'éclatement périodique et on démontre des résultats d'homogénéisation. L'application de la première méthode nécessite une décomposition de la solution en deux parties pour surpasser les difficultés qui résultent des contributions différentes en nature, ceci ne sera plus le cas en utilisant l'éclatement (les applications des Chapitres 3 et 4 le montrent clairement). Le Chapitre 6 réunit trois problèmes classiques d'homogénéisation qu'on étudiera par la méthode d'éclatement périodique. D'abord le problème de Dirichlet homogène et ensuite deux problèmes de Stokes. Le premier est avec des conditions de Dirichlet ; pour l’étudier problème on utilisera un nouvel opérateur, celui de la moyennisation locale. Le deuxième problème de Stokes considéré dans ce chapitre concerne le cas des conditions de Fourier non homogènes. Pour terminer, 4 annexes sont ajoutées. La première concerne la caractérisation de la matrice obtenue à partir du problème étudié dans le Chapitre 3, la preuve étant faite par une méthode standard en homogénéisation. La deuxième annexe contient des résultats classiques d'analyse fonctionnelle (le théorème de la convergence dominée « Beppo-Levi » et le lemme de Fatou ainsi qu’une définition) utilisés dans cette thèse, la troisième une preuve d’un cas particulier pour le problème de Stokes avec les conditions de Fourier non homogènes traité dans le Chapitre 5 et la quatrième annexe contient une preuve par l'éclatement périodique, en quelques lignes, d'un résultat de convergence faible vers la moyenne d'une suite de fonctions oscillantes.