Abstract FR:

Cette these a pour objet l'etude d'une equation elliptique non lineaire, sur un domaine borne, dont la non-linearite a une croissance critique, entrainant un defaut de compacite. Dans la premiere partie, on montre que lorsque le domaine est perfore, les solutions se concentrent sur le centre du trou lorsque son rayon devient tres petit. On etablit ensuite un resultat de non existence de solutions pour un domaine non etoile possedant une topologie triviale. Dans une deuxieme partie, on tient compte d'une perturbation lineaire et on etudie systematiquement les solutions obtenues par minimisation d'une fonctionnelle et maximisation d'une autre. On montre qu'il y a unicite des extrema dans le cas radial; on etablit la correspondance entre les minima de l'une et les maxima de l'autre. Finalement, on etudie les minima degeneres: en imposant une condition de transversalite, on donne la description complete d'une eventuelle bifurcation, phenomene pouvant apparaitre lorsque le domaine est un anneau