Abstract FR:

L'objet de cette these est de proceder a une analyse numerique d'equations dispersives non lineaires et principalement des systemes de davey-stewartson. Ceux ci decrivent la propagation d'un paquet d'ondes hydrodynamiques a la surface d'un fluide en profondeur finie. Ils se presentent comme des systemes couplant une equation de schrodinger non lineaire pour l'enveloppe complexe du paquet d'ondes avec une equation stationnaire pour le potentiel des vitesses. La partie lineaire stationnaire de chaque equations peut soit etre elliptique, soit hyperbolique, ce qui conduit a quatre types de systeme de davey-stewartson. La theorie mathematique de ces systemes est tres incomplete. Une approximation numerique precise est donc utile. Le premier chapitre rappelle l'obtention des equations et les differents resultats theoriques connus a ce jour. Le deuxieme chapitre est consacre a l'approximation du cas elliptique-hyperbolique, qui est traite a l'aide du schema de crank-nicolson couple a une methode de relaxation en temps. Le schema ainsi construit est valide a l'aide de solutions exactes et des phenomenes d'explosion en temps fini sont mis en evidence. Les temps de calcul des solutions sont assez importants. Le troisieme chapitre presente donc une methode basee sur la relaxation permettant des gains substantiels. Il est demontre l'existence de solutions du schema numerique et leur convergence vers les solutions des systemes continus pour l'equation de schrodinger non lineaire et les systemes de davey-stewartson ellitpique-elliptique et hyperbolique-elliptique.