Abstract FR:

Nous déterminons la vitesse de convergence de l'itération du point fixe de Banach appliquée à des problèmes semilinéaires elliptiques sur des domaines ayant une singularité conique à la frontière. Une quantité importante est représentée par la norme de l'injection du domaine de l'opérateur (représentant la partie linéaire du problème) dans une famille d'espaces de Sobolev avec poids qui dépendent d'un exposant donnant une borne pour le comportement asymptotique des éléments proche de la singularité. Dans le cas général, on obtient une constante de Lipschitz (de l'application pour laquelle on cherche un point fixe) qui est proportionnelle à cette norme. On utilise ici les propriétés Lipschitziennes de l'opérateur de Nemytskij sur des espaces de Sobolev avec poids, extrait des travaux de F. Ali Mehmeti et S. Nicaise (Comm. P. D. E. 1997). Dans le cas où le domaine est un secteur d'un cercle, nous donnons un encadrement des bornes de la norme de cette injection. Il en découle le comportement asymtotique lorsque cette norme tend vers l'infini, quand l'angle intérieur du secteur atteint une valeur limite òu le domaine de l'opérateur n'est plus inclus dans l'espace de Sobolev avec poids approprié. On utilise les fonctions de Bessel dans ce cas.