Abstract FR:

L'objet de cette thèse porte sur l'étude des équations différentielles homogènes à coefficients dans un corps différentiel de corps de constantes algébriquement clos de caractéristique nulle. Dans un premier temps nous considérons un polynôme bivarié et montrons comment, à partir de l'équation différentielle linéaire satisfaite par les racines du polynôme, nous pouvons calculer une factorisation absolue du polynôme, déterminer son groupe de Galois classique et calculer le genre de la courbe définie par ce polynôme. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux solutions liouvilliennes (obtenues par compositions de fonctions algébriques, d'intégrales et d'exponentielles) des équations différentielles d'ordre 4 et 5. Nous donnons tous les degrés minimaux possibles d'une dérivée logarithmique algébrique et, à partir de la liste des sous-groupes primitifs finis unimodulaires. , nous donnons les ingrédients nécessaires aux calculs des polynômes minimaux des dérivées logarithmiques algébriques et des solutions algébriques de l'équation. Enfin, dans une dernière partie, nous construisons des exemples d'équations pour les sous-groupes primitifs finis unimodulaires en degré 4. Les pré-calculs de la partie précédente nous permettent de trouver un polynôme dont le groupe de Galois est un des groupes primitifs finis. Nous illustrons cette méthode pour le groupe SL(2,7).