Abstract FR:

La premiere est consacree a la construction et l'etude de codages algebriques pour les systemes dynamiques definis par les automorphismes algebriques hyperboliques du tore de dimension superieure a 2. Comme l'a souligne vershik dans ses travaux recents, il est naturel de rechercher des codages pour lesquels on puisse decrire symboliquement certaines structures ou operations propres a l'automorphisme du tore. Nous donnons un procede algebrique general effectif de construction de codages. C'est une generalisation naturelle de la construction donnee par bertrand-mathis en 1986 dans son etude des nombres de pisot. L'idee est de definir un developpement dans la feuille dilatante de l'automorphisme a coder. Les systemes symboliques obtenus ne sont generalement pas markoviens mais sofiques (au sens de weiss). La soficite est prouvee a l'aide d'une methode employee par thurston dans la construction de pavages autosimilaires. Plusieurs questions concernant les proprietes symboliques des developpements obtenus sont egalement discutees. La seconde partie est de nature plus probabiliste. Il s'agit d'etudier les proprietes stochastiques des systemes dynamiques definis par les automorphismes ergodiques du tore. Dans le cas hyperbolique, grace a la representation fournie par une partition markovienne ou par le codage construit dans la premiere partie, on peut appliquer les methodes d'operateurs markoviens developpees par guivarc'h et hardy, donc prouver des theoremes limites tres forts. Dans le cas non-hyperbolique on ne dispose plus de ces constructions. Neanmoins pour les systemes quasi-hyperboliques se pose le probleme du comportement stochastique des sommes de birkhoff pour les fonctions regulieres. Nous montrons, dans le cas des automorphismes ergodiques du tore, que, pour une fonction reguliere, l'etude des sommes ergodiques se ramene a l'etude de sommes ergodiques associees a une suite de differences de martingale. Ce resultat est obtenu en utilisant les proprietes de bonne repartition dans le tore des feuilles stables de l'automorphisme. Suivant la methode de gorcdin, se deduisent les theoremes limites attendus : theoreme limite central fonctionnel, loi du logarithme itere. . .