Abstract FR:

Dans le corps des fractions rationnelles r(x,y), tout element semi-defini positif est une somme de 4 carres. En 1971, cassels, ellison et pfister ont montre par l'etude d'une certaine courbe elliptique que le polynome de motzkin n'est pas une somme de 3 carres de fractions rationnelles. S'il est assez illusoire de penser caracteriser parfaitement les polynomes positifs ou nuls qui ne sont pas sommes de seulement 3 carres de fractions, la these presentee ici est cependant une contribution a leur etude dans la mesure ou elle fournit de nouvelles familles de tels polynomes. On y reprend la demarche generale de la demonstration de cassels, ellison et pfister en l'adaptant aux nouvelles configurations. On notera aussi que la preuve du resultat de christie (1976) fournissant par la meme methode un famille de polynomes positifs ou nuls non sommes de 3 carres de fractions comporte une erreur que l'on corrige en elargissant a l'occasion la famille de polynomes etudiee. Ces resultats fournissent des polynomes de bas degre non sommes de 3 carres, mais on montre qu'a partir d'un de ces polynomes on peut obtenir par substitution des polynomes de degre aussi eleve que souhaite ayant cette propriete. On sait que la forme somme de 3 carres est isotrope sur le corps des fonctions d'une courbe algebrique reelle sans point reel. Un autre volet du travail presente ici est de majorer, en termes de donnees geometriques de la courbe, le degre d'un petit vecteur polynomial isotrope.