Abstract FR:

On prouve des inégalités de type Strichartz pour des opérateurs à symboles complexes et des inégalités de Carleman dans les espaces de Lebesgue d'indices p critiques, liées à la courbure de la variété caractéristique des opérateurs, et on en déduit des résultats de résolubilité, et d'unicité de la continuation à travers une hypersurface (dans l'esprit du théorème de Calderón) pour des équations avec potentiel ou semi-linéaires. Pour cela, on construit une paramétrix de l'opérateur puis on étudie les propriétés de continuité sur les espaces de Lebesgue de cette paramétrix, résultant d'estimations de dispersion obtenues par la méthode de la phase stationnaire. On traite d'abord le cas des opérateurs de type principal réel, puis celui des opérateurs de type Mizohata sous une hypothèse de codimension 1 de la variété caractéristique, puis celui des opérateurs de type symplectique sous une hypothèse de codimension 2, et enfin le cas des estimations de Carleman.