Abstract FR:

Furuya (1977) a montré que tout idéal ambige d'une extension abélienne du corps des rationnels devient principal dans son corps de genres. Ce résultat généralise le célèbre théorème de l'idéal principal du à Furtwängler (1934) : tout idéal d'un corps de nombre est principal dans son corps de classes de Hilbert. Le but principal de cette thèse est la recherche d'autres corps de base pour lesquels on peut obtenir un résultat analogue à celui de Furuya. Dans un premier temps, j'ai considéré le problème pour un corps de base quadratique imaginaire. Dans cette situation, les résultats classiques de multiplication complexe fournissent une description explicite de la théorie du corps de classes. En utilisant des fonctions modulaires, on exhibe alors des générateurs d'idéaux. Ensuite, une condition de cyclicité sur les groupes d'inertie permet d'obtenir la généralisation du théorème de Furuya à un "grand nombre" d'extensions de Q(√5). Les résultats de cette partie ne sont pas explicites. Enfin, j'ai abandonné le cadre des corps de nombres pour celui des corps de fonctions sur un corps fini. Du fait de l'existence de nombreux points communs entre corps de nombres et corps de fonctions, il est souvent intéressant de comparer les résultats particuliers à ces deux situations. J'ai alors transposé le problème de capitulation précédemment étudié à des extensions abéliennes finies de corps de fonctions. Pour ce faire, on privilégie un ensemble fini, "sygma", de places du corps de base et on utilise le concept de 'sygma'-corps de genres. Lorsque "sygma" est réduit à une seule place, la théorie des modules de Drinfeld de rang 1 donne une construction de corps de fonction "cyclotomiques" permettant l'obtention d'un théorème analogue à celui de Furuya.