Abstract FR:

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution symbolique des systèmes différentiels linéaires en calcul formel. La première partie de ce document présente les aspects qui sont à la base de ce problème : la réduction formelle algorithmique d'un système au voisinage d'un point singulier irrégulier. Nous partons des notions de réductibilité donnée par Moser et sa généralisation, les formes super-irréductibles de Hilali/Wazner. Les résultats théoriques que nous donnons permettent de mieux comprendre ces notions et de préciser leur rôle dans la réduction formelle ; ils ont de plus donné lieu à un algorithme général, implanté dans le système de calcul formel MAPLE V. Dans la deuxième partie, nous utilisons les informations locales données par les solutions formelles pour l'analyse globale des systèmes à coefficients fonctions rationnelles. Après avoir rappelé les algorithmes existant pour la recherche des solutions polynomiales et rationnelles, nous proposons de nouvelles méthodes pour le calcul des solutions exponentielles et la résolution du problème d'équivalence de deux systèmes. Nous donnons enfin un algorithme direct pour la factorisation des systèmes complètement réductibles et, pour des classes plus générales de systèmes, montrons qu'il est possible d'étendre les méthodes utilisées dans le cas scalaire. L'implantation de ces techniques constitue le logiciel ISOLDE (Integration of Systems of Ordinary Linear Differential Equations) dont les aspects pratiques sont présentés dans la troisième partie de ce mémoire