Abstract FR:

On s'interesse aux problemes fondamentaux qui se posent sur les fonctions de nash, a savoir: la separation des composantes analytiques des varietes algebriques reelles par les fonctions de nash, le probleme d'extension d'une fonction de nash definie sur un sous ensemble de nash, et le probleme d'equations globales pour les ensembles localement de nash. Ces deux derniers problemes sont lies a l'absence de bonnes proprietes cohomologiques pour les fonctions de nash. Nous etudions d'abord en detail la preuve de la conjecture d'artin, encore appelee approximation des morphismes reguliers, donnee par popescu-andre, dans le cas des algebres sur q. C'est sous cette forme qu'elle sert dans les situations geometriques. En particulier coste, ruiz et shiota ont prouve avec cet outil, que les problemes precedents ont une reponse positive lorsque la variete de nash est compacte. Nous utilisons cette version de la conjecture d'artin pour montrer que, dans le cas d'une variete de nash non necessairement compacte, le probleme d'extension est vrai sous l'hypothese d'une propriete connue sous le nom d'idempotence du spectre reel. Cette propriete etait consideree comme acquise, mais elle n'a toujours pas de preuve complete dans le cas general. Nous en donnons une demonstration dans le cas des anneaux excellents normaux. Le principal obstacle dans le cas non compact est le fait que l'anneau des fonctions analytiques n'est pas noetherien. Pour aborder les problemes sur les fonctions de nash en evitant le recours aux fonctions analytiques, nous introduisons la notion d'ensembles localement de nash abstraits. Nous montrons que sous des hypotheses raisonnables, ces ensembles sont les fermes d'une topologie noetherienne, ce qui donne une notion satisfaisante de composante analytique reelle dans un cadre general