Abstract FR:

Les deux premi`eres parties concernent le calcul de la premi`ere valeur propre de familles d'op´erateurs de Neumann en utilisant les diff´erences finies et les ´el´ements finis. La troisi`eme partie porte sur un probl`eme de valeurs propres faisant intervenir un op´erateur de Schr¨odinger avec champ magn´etique constant issu de la th´eorie de Ginzburg-Landau et concernant la supraconductivit´e de certains mat´eriaux. Pour la r´esolution num´erique, une m´ethode bas´ee sur les ´el´ements finis avec int´egration num´erique est utilis´ee. L'existence des solutions du probl`eme variationnel spectral a ´et´e ´etablie. La quatri`eme partie porte sur la mise en oeuvre de la r´esolution num´erique du probl`eme pr´ec´edent. Les r´esultats num´eriques concernant la localisation de l'´etat fondamental de l'op´erateur de Schr¨odinger avec champ magn´etique constant dans diff´erents domaines (carr´es, disques, ellipses, polygones) sont conformes `a la th´eorie : la concentration des ´electrons supraconducteurs au voisinage des points dont la courbure est maximale.