Abstract FR:

Soient n un entier non négatif et H un ensemble fini de vecteurs à n composantes entières. Le cône engendré par H, noté cone(H), est l'ensemble des vecteurs qui sont combinaisons linéaires non négatives des vecteurs de H. Le treillis engendré par H, noté lat(H), est l'ensemble des combinaisons linéaires entières des vecteurs de H. On dit que H est un système générateur de Hilbert si tout vecteur qui appartient à cone(H) et à lat(H) peut s'exprimer comme combinaison linéaire de vecteurs de H avec des coefficients entiers et non négatifs. Si H est minimal pour la propriété précédente, le même cône et le même treillis, alors on dit que H est une base de Hilbert. Un exemple important de base de Hilbert, étudié dans cette thèse, est l'ensemble B(M) des (vecteurs caractéristiques des) bases d'un matroïde M. Cook, Fonlupt et Schrijver ont montré que, si H est une base de Hilbert, tout vecteur entier qui est dans cone(H) et dans lat(H) est combinaison linéaire de 2n-1 vecteurs de H. Ils conjecturent que 2n-1 peut être remplacé par n. Sebö a amélioré le résultat avec la valeur 2n-2 et prouvé une conjecture plus forte qu'il démontre, la conjecture de couverture unimodulaire, pour n=3n: tout vecteur qui est dans cone(H) et dans lat(H) est combinaison linéaire de n vecteurs de H linéairement indépendants qui engendrent le même treillis lat(H). La notion de base de Hilbert a été introduite dans un sens plus restreint par Giles et Pulleyblank en relation avec les systèmes TDI (totalement dual intégral). On la retrouve ainsi que la conjecture de couverture unimodulaire dans beaucoup de problèmes d'optimisation combinatoire (polyédrale). Un résultat principal de cette thèse est la mise en évidence d'une classe de matroïdes M tels que B(M) vérifie la conjecture de couverture unimodulaire