Abstract FR:

Ce travail est consacre a la generalisation aux puissances divisees de niveau m de la theorie cristalline de dieudonne, developpee par berthelot, breen et messing, ainsi qu'a ses applications. On construit dans un premier temps le cristal de dieudonne de niveau m d'un schema abelien, note id#(#m#)(a). On montre, grace a un isomorphisme de comparaison entre niveau m et niveau o, que ce dernier est un cristal localement libre de rang fini, muni par ailleurs d'un frobenius et d'un verschiebung. De la construction precedente, on deduit celle du cristal de dieudonne de niveau m d'un schema en groupe fini localement libre, puis celle d'un groupe de barsotti-tate. Berthelot a montre qu'on peut associer a tout f-cristal, un f-isocristal convergent. En particulier, si g/s est un groupe de barsotti-tate, on montre le lien entre la realisation de l'isocristal id (g)#k sur un tube ferme de rayon /p/#p#-#m et le m-cristal id#(#m#)(g). Ceci permet de calculer la cohomologie (rigide) de id (g)#k comme limite projective de cohomologie cristalline de niveau m des id #(#m#)(g). On peut alors demontrer la meromorphie de la fonction l d'un groupe de barsotti-tate g/s lorsque id(g)#k provient d'un isocristal surconvergent et donner, dans ce cas, une expression de la fonction l unite associee