Abstract FR:

En geometrie analytique rigide, les disques fermes (tout comme les disques ouverts) sont topologiquement parlant, des ouverts de la droite. La question se pose donc de caracteriser parmi les ouverts d'une variete analytique, ceux qui se comportent geometriquement comme des disques ouverts et que l'on peut appeler des ouverts beants. On se donne en premier lieu une definition generale de morphisme rigide sans bord. C'est une notion qui est apparemment plus faible que celle de lutkebohmert mais qui a l'avantage d'etre de nature locale. On dit alors qu'un ouvert est beant si le morphisme d'inclusion est sans bord. Ensuite, on etend le theoreme de raynaud qui permet d'interpreter la geometrie rigide a l'aide de la geometrie formelle, aux varietes rigides quasi-separes et para-compactes, puis on donne l'equivalent de la notion de morphisme sans bord en geometrie formelle. On definit aussi la notion de morphisme sans bord dans la theorie de berkovich. La encore cette definition semble plus faible que celle de morphisme ferme au sens de berkovich. On montre cependant que pour de bonnes varietes de berkovich topologiquement separees est sans bord si et seulement si le morphisme de varietes rigides correspondant l'est. On en deduit qu'un domaine analytique d'une variete de berkovich est ouvert si et seulement si sa partie rigide est un ouvert beant de la variete rigide associee. Enfin, on montre le theoreme de dualite de serre pour les varietes rigides lisses, separees, paracompactes sans bord et de type denombrable