Abstract FR:

Dans cette these, nous regroupons quatre articles dans lesquels, nous etudions divers aspects mathematiques de problemes paraboliques fortement degeneres en une dimension d'espace. Dans le premier et le second article nous etudions une equation generale de type parabolique pouvant degeneree en hyperbolique du premier ordre pour certaines valeurs des variables. Dans le premier article, nous developpons une notion de solution entropique du probleme stationnaire associe a cette equation. Ceci nous permet, suivant la theorie des semi-groupe non lineaire dans un espace de banach, d'associer aux donnees un operateur de cet espace de banach. Nous montrons que cet operateur est fortement accretif a domaine dense et verifie la condition d'image. Dans le second article, nous etablissons des resultats d'existence, d'unicite et de dependance continue par rapport aux donnees, d'une bonne solution du probleme de cauchy ou de problemes aux limites associes a cette equation sous des hypotheses tres generales sur les donnees. Avec des hypotheses complementaires, nous montrons que cette bonne solution est solution entropique ; nous etudions l'unicite des solutions faibles et l'existence de solution forte. Le troisieme article est consacre au cas particulier de la dependance continue des bonnes solutions par rapport au domaine. Dans le quatrieme et dernier article de ce travail, nous etudions le comportement asymptotique pour des temps grands, des solutions de l'equation dans le cas quasi-lineaire. Nous montrons que le probleme de dirichlet associe a cette equation est de type gradient a l'aide de fonctionnelle de lyapunov