Quelques schémas de cryptographie asymétrique probabiliste
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Abstract EN:
In this thesis, we build, in a generic way, several families of probabilistic trapdoor functions. First, a family of homomorphic trapdoor functions which generalize, among others, the Paillier cryptosystem, and then two others families of trapdoor functions, built from deterministic trapdoor functions. We consider then several finite groups in order to use these trapdoor functions: quotients of Z, elliptic curves over Z/nZ (with n odd integer), for which we give a complete set of addition formulæ, and another finite group, not widely used in cryptography, the group of norm 1 elements of a quadratic field modulo n. We describe several cryptosystems, using the corresponding trapdoor functions in these groups, together with an analysis of their security and their complexity. With quotients of Z and elliptic curves, we get some cryptosystems yet described in the past few years. Using quadratic fields quotients, we propose several new efficient probabilistic schemes.
Abstract FR:
Dans cette thèse, on construit de manière générique plusieurs familles de fonctions trappe probabilistes : une famille de fonctions trappe homomorphiques généralisant, entre autres, le cryptosystème de Paillier, et deux autres familles de fonctions trappe, à partir de fonctions trappe déterministes. Pour utiliser ces fonctions trappe, on étudie plusieurs groupes finis : les quotients de Z, les courbes elliptiques définies sur Z/nZ, où n est un entier impair, pour lesquelles on donne un système complet de formules d’additions, et un autre groupe fini peu utilisé en cryptographie, celui des éléments de norme 1 d’un corps quadratique modulo n. On expose plusieurs cryptosystèmes avec une analyse de leur sécurité et de leur complexité, en utilisant les familles de fonctions trappe dans ces groupes. Dans les quotients de Z et dans les courbes elliptiques, on retrouve de nombreux cryptosystèmes décrits ces dernières années. Dans les quotients de corps quadratiques, on propose plusieurs nouveaux systèmes probabilistes très performants.